Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть сле­ду­ю­щие пять слу­ча­ев.

1.  Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид то есть яв­ля­ет­ся вер­ным чис­ло­вым ра­вен­ством при любых зна­че­ни­ях по­ка­за­те­лей сте­пе­ней. Имеем:

2.  Если и то долж­ны быть равны по­ка­за­те­ли сте­пе­ней с рав­ным ос­но­ва­ни­ем:

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма не­сов­мест­на.

3.  Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид а зна­чит, яв­ля­ет­ся вер­ным чис­ло­вым ра­вен­ством при по­ло­жи­тель­ных по­ка­за­те­лях сте­пе­ней (вы­ра­же­ние 0^t опре­де­ле­но лишь при по­ло­жи­тель­ных t). По­лу­ча­ем:

4.  Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид От­ри­ца­тель­ные числа можно воз­во­дить толь­ко в целые сте­пе­ни, а по­то­му ра­вен­ство ока­жет­ся вер­ным, если по­ка­за­те­ли сте­пе­ни целые и имеют одну чет­ность (но не­обя­за­тель­но равны между собой). На­хо­дим:

Выше мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что при левая часть не­чет­на, а пра­вая  — четна, ра­вен­ство не­вер­но. При обе части четны, ра­вен­ство верно.

5.  Если и то по­ка­за­те­ли сте­пе­ни долж­ны быть рав­ны­ми и при этом це­лы­ми (от­ри­ца­тель­ные числа можно воз­во­дить в толь­ко целые сте­пе­ни), а тогда:

Дей­стви­тель­но, ра­вен­ство спра­вед­ли­во, а ра­вен­ство не­вер­ное, по­сколь­ку за­пи­сан­ные сте­пе­ни не имеют смыс­ла.

Ответ:

При­ме­ча­ние 1.

Обыч­но по­ка­за­тель­но-сте­пен­ные урав­не­ния ре­ша­ют лишь для по­ло­жи­тель­ных ос­но­ва­ний сте­пе­ни. Такой под­ход оправ­дан, в част­но­сти, тем, что функ­ция с пе­ре­мен­ным ос­но­ва­ни­ем по­ни­ма­ет­ся как экс­по­нен­та:

При таком по­ни­ма­нии ре­ше­ние не­сколь­ко проще:

Ответ:

При­ме­ча­ние 2.

О том, как ре­шать сте­пен­но-по­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства при не­по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях ос­но­ва­ний, мы рас­ска­за­ли на при­ме­ре за­да­чи 7166.

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть сле­ду­ю­щие слу­чаи.

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни равно нулю.

1.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни равно 0, не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид 0 < 0, это не­ра­вен­ство ложно.

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни по­ло­жи­тель­но.

2.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни равно 1, то не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид 1 < 1, это не­ра­вен­ство ложно.

3.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни по­ло­жи­тель­но и мень­ше 1, то

4.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше 1, то

Слу­чаи 3 и 4 со­от­вет­ству­ют си­сте­мам

но удоб­нее рас­смат­ри­вать слу­чаи 2−4 сов­мест­но, решив си­сте­му:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни от­ри­ца­тель­но.

Для от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний ос­но­ва­ния по­ка­за­те­ли сте­пе­ни долж­ны быть це­лы­ми (от­ри­ца­тель­ные числа можно воз­во­дить в толь­ко целые сте­пе­ни). По­это­му не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть сле­ду­ю­щие слу­чаи.

5.  Если ос­но­ва­ние равно −1, то не­чет­но, четно: по­лу­чим вер­ное не­ра­вен­ство −1 < 1.

6.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше −1, то:

7.  Если ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше −1, но мень­ше нуля, то:

Вы­яс­ним, при каких усло­ви­ях по­ка­за­те­ли сте­пе­ней целые. Число 10х целое для всех целых х, а также для дро­бей вида где чис­ли­те­ли дро­бей  — целые. Но для не­це­лых зна­че­ний пе­ре­мен­ной число не может быть целым. По­это­му ис­ко­мые х могут быть лишь це­лы­ми.

Усло­ви­ям 6б), 6в), 7б), 7в) не удо­вле­тво­ря­ет ни одно целое число, по­сколь­ку 10х не может быть не­чет­ным, а не может быть чет­ным. Усло­вию 5 удо­вле­тво­ря­ют все целые зна­че­ния х, при ко­то­рых Усло­вию 6а) удо­вле­тво­ря­ют все целые зна­че­ния х, при ко­то­рых Усло­вию 7а) удо­вле­тво­ря­ют все целые зна­че­ния х, при ко­то­рых Сле­до­ва­тель­но, под­хо­дят все целые зна­че­ния х, при ко­то­рых Решая это не­ра­вен­ство, на­хо­дим:

от­ку­да

Ответ:

При­ме­ча­ние.

О том, как ре­шать сте­пен­но-по­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства урав­не­ния при не­по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях ос­но­ва­ний, мы рас­ска­за­ли на при­ме­ре за­да­чи 1547.