РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 27 № 8069 Добавить в вариант

Иррациональные числа. 2. Задачи на сравнение чисел

Докажите, что для неотрицательных чисел а и b справедливо неравенство $1 плюс 2 a в квадрате плюс b в степени 6 больше или равно 3 a b плюс a b в кубе .$

Решение. В правой части неравенства находится сумма двух слагаемых, это наводит на мысль дважды воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим. Предварительно умножим обе части неравенства на 2 и сгруппируем слагаемые к виду, удобному для оценки:

$2 плюс 4a в квадрате плюс 2b в степени 6 больше или равно 6 ab плюс 2ab в кубе равносильно левая круглая скобка a в квадрате плюс b в степени 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 плюс 3a в квадрате плюс b в степени 6 правая круглая скобка больше или равно 2ab в кубе плюс 6ab.$

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

$a в квадрате плюс b в степени 6 больше или равно 2 корень из: начало аргумента: a в квадрате умножить на b в степени 6 конец аргумента = 2ab в кубе . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Осталось доказать, что $2 плюс 3a в квадрате плюс b в степени 6 больше или равно 6ab.$ Коэффициент перед одночленом в правой части равен шести, представим левую часть в виде шести слагаемых и применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для шести чисел:

$2 плюс 3a в квадрате плюс b в степени 6 = 1 плюс 1 плюс a в квадрате плюс a в квадрате плюс a в квадрате плюс b в степени 6 больше или равно 6 умножить на корень 6 степени из: начало аргумента: 1 умножить на 1 умножить на a в квадрате умножить на a в квадрате умножить на a в квадрате умножить на b в степени 6 конец аргумента =6 a b. \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Складывая неравенства (⁎) и (⁎⁎), получаем требуемое.

Ключ