Ре­ше­ние. По усло­вию от­ку­да на­хо­дим:

Тогда

Оста­лось найти наи­мень­шую воз­мож­ную сумму квад­ра­тов.

Спо­соб 1 (сред­нее ариф­ме­ти­че­ское и сред­нее квад­ра­тич­ное). Из не­ра­вен­ства о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем квад­ра­тич­ном для по­лу­ча­ем:

а по­то­му В слу­чае рав­ных чисел a, b, c не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство.

Спо­соб 2 (сред­нее ариф­ме­ти­че­ское и сред­нее гео­мет­ри­че­ское). Для любых чисел a, b, c, сло­жив не­ра­вен­ства

и раз­де­лив суммы на 2, по­лу­ча­ем:

По усло­вию а по­то­му

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ство, если

Ответ: − 3.

При­ведём ре­ше­ние ме­то­дом Штур­ма.

По усло­вию от­ку­да на­хо­дим:

Тогда

При­ме­ним метод Штур­ма. Пусть до­ка­жем, что где Имеем:

что верно, так как Рас­смот­рим сумму

От­ме­тим, что если а про­из­ве­де­ние ab уве­ли­чи­ва­ет­ся, то и вся сумма уве­ли­чит­ся.

Пусть не все числа a, b и с из­на­чаль­но равны  тогда среди них най­дет­ся число боль­шее  и число мень­шее  За­ме­ним их на два числа с такой же сум­мой, чтобы то из них, ко­то­рое ближе к  стало равно  Если два остав­ших­ся числа не равны  то и их за­ме­ним на два числа, рав­ных  (если одно ста­нет равно  то и остав­ше­е­ся ста­нет равно  так как сумма всех трех чисел равна 1). При такой за­ме­не для любых не­от­ри­ца­тель­ных числе a, b и c таких, что они не все они равны между собой, зна­че­ние мень­ше, чем если все числа равны. А по­то­му: