РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 30 № 7700 Добавить в вариант

Многочлены. 1. Многочлен с заданными корнями

Составьте уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны квадратам корней уравнения $x в кубе минус 2x в квадрате минус 9x плюс 16 = 0.$

Решение. По теореме Виета:

$система выражений x_1 плюс x_2 плюс x_3=2,x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3= минус 9, x_1x_2x_3= минус 16. конец системы .$

Пусть $y_1 = x_1 в квадрате ,$ $y_2 = x_2 в квадрате ,$ $y_3 = x_3 в квадрате ,$ тогда:

$y_1y_2y_3 = x_1 в квадрате x_2 в квадрате x_3 в квадрате = левая круглая скобка x_1x_2x_3 правая круглая скобка в квадрате = 256.$

$y_1 плюс y_2 плюс y_3 = x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате плюс x_3 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 правая круглая скобка = 22,$

$y_1y_2 плюс y_1y_3 плюс y_2y_3 = x_1 в квадрате x_2 в квадрате плюс x_1 в квадрате x_3 в квадрате плюс x_2 в квадрате x_3 в квадрате = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x_1 в квадрате x_2x_3 плюс x_1x_2 в квадрате x_3 плюс x_1x_2x в квадрате _3 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 правая круглая скобка в квадрате минус 2x_1x_2x_3 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка = 81 плюс 2 умножить на 16 умножить на 2 = 145,$

Тем самым искомое уравнение имеет вид $y в кубе минус 22y в квадрате плюс 145y минус 256 = 0.$

Ключ