РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7164 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

а)  Найдите все целые положительные n, для которых число $2 в степени n минус 1$ делится на 7.

б)  Докажите, что ни при каком целом положительном n число $2 в степени n плюс 1$ не делится на 7.

Решение. a)  Пусть n кратно трем. Тогда n можно представить в виде n  =  3k и $2 в степени n минус 1=2 в степени левая круглая скобка 3k правая круглая скобка минус 1=8 в степени k минус 1.$ Но разность степеней с одинаковыми показателями делится на разность оснований, т. е. $8 в степени k минус 1$ делится на $8 минус 1=7.$ Следовательно, $2 в степени n минус 1$ делится на 7 при n, кратном 3 . Пусть n некратно трем, $n=3k плюс 1$ или $n=3k плюс 2.$ В случае $n=3k плюс 1$ имеем

$2 в степени n минус 1=2 в степени левая круглая скобка 3 k плюс 1 правая круглая скобка минус 1=2 левая круглая скобка 8 правая круглая скобка в степени k минус 1=2 умножить на левая круглая скобка 7 плюс 1 правая круглая скобка в степени k минус 1,$

но $левая круглая скобка 7 плюс 1 правая круглая скобка в степени k$ при делении на 7 дает в остатке 1 (это следует, например, из формулы бинома Ныотона), $2 левая круглая скобка 7 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка$ при делении на 7 даст в остатке 2. Значит, при делении $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1=2 левая круглая скобка 7 плюс 1 правая круглая скобка в степени k минус 1$ на 7 получится в остатке 1, следовательно, при $n=3k плюс 1$ число $2 в степени n минус 1$ не делится на 7. В случае $n=3k плюс 2$ имеем $2 в степени n минус 1=2 в степени левая круглая скобка 3k плюс 2 правая круглая скобка минус 1=4 левая круглая скобка 7 плюс 1 правая круглая скобка в степени k минус 1.$ При делении на 7 получится в остатке 3. Следовательно, $2 в степени n минус 1$ делится на 7 тогда и только тогда, когда n кратно трем.

б)  Пусть n  =  3k. Тогда $2 в степени n =2 в степени левая круглая скобка 3k правая круглая скобка =7m плюс 1; 2 в степени n плюс 1=7 m плюс 2,$ что не делится на 7. Пусть $n=3k плюс 1,$ тогда

$2 в степени n плюс 1=2 в степени левая круглая скобка 3 k плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3k правая круглая скобка плюс 1=2 левая круглая скобка 7m плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=14m плюс 3,$

что не делится на 7. При $n=3k плюс 2$ имеем

$2 в степени n плюс 1=2 в степени левая круглая скобка 3 k плюс 2 правая круглая скобка плюс 1=4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3 k правая круглая скобка плюс 1=4 левая круглая скобка 7 m плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=28 m плюс 5,$

что также не делится на 7. Таким образом, ни при каком n число $2 в степени n плюс 1$ не делится на 7.

Ключ