РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7146 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найти остаток от деления на 7 числа $65 в степени левая круглая скобка 43 правая круглая скобка плюс 54 в степени левая круглая скобка 32 правая круглая скобка .$

Решение. Так как $65\equiv2 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка$ и $54\equiv5 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка ,$ задача сводится к вычислению остатка от деления числа $2 в степени левая круглая скобка 43 правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка 32 правая круглая скобка$ на 7.

По малой теореме Ферма $a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod m правая круглая скобка ,$ в нашем случае m  =  7, значит, $m минус 1 = 6.$ Выделим из степеней 2⁴³ и 5³² степени 2⁶ и 5⁶:

$2 в степени левая круглая скобка 43 правая круглая скобка = 2 умножить на левая круглая скобка 2 в степени 6 правая круглая скобка в степени 7 ,$

$5 в степени левая круглая скобка 32 правая круглая скобка = 25 умножить на левая круглая скобка 5 в степени 6 правая круглая скобка в степени 5 .$

Тогда:

$левая круглая скобка 2 в степени 6 правая круглая скобка в степени 7 \equiv1 в степени 7 \equiv1 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка .$

$левая круглая скобка 5 в степени 6 правая круглая скобка в степени 5 \equiv1 в степени 5 \equiv1 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка .$

Следовательно,

$2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 42 правая круглая скобка плюс 25 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 30 правая круглая скобка \equiv 2 умножить на 1 плюс 4 умножить на 1 \equiv 6 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка .$

Ответ: 6.

7146

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	7146	6.