РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7136 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найти остаток от деления на 7 числа $2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка .$

Решение. По малой теореме Ферма $a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod m правая круглая скобка ,$ в нашем случае m  =  7, значит, $m минус 1 = 6.$ Выделим из степеней 2²⁰⁰² и 3²⁰⁰² степени 2⁶ и 3⁶:

$2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 2 в степени 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка = 16 умножить на левая круглая скобка 2 в степени 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка ;$

$3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 3 в степени 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка = 81 умножить на левая круглая скобка 3 в степени 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка .$

Имеем:

$16 умножить на левая круглая скобка 2 в степени 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка \equiv 2 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка \equiv 2 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка ,$

$81 умножить на левая круглая скобка 3 в степени 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка \equiv 4 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 333 правая круглая скобка \equiv 4 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка ,$

а потому

$2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка \equiv6 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка .$

Ответ: 6.

7136

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	7136	6.