РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7134 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Докажите, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 1.

Решение. Докажем, что $n в квадрате плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате \equiv 1 левая круглая скобка mod 4 правая круглая скобка .$ Имеем:

—   $n \equiv 0 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $0 в квадрате плюс левая круглая скобка 0 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 1 \equiv 1 левая круглая скобка mod 4 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $1 в квадрате плюс левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 5 \equiv 1 левая круглая скобка mod 4 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 2 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $2 в квадрате плюс левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 13 \equiv 1 левая круглая скобка mod 4 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 3 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $3 в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 25 \equiv 1 левая круглая скобка mod 4 правая круглая скобка .$

Таким образом, каждый остаток равен 1.

Ключ