РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7133 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.

Решение. Докажем, что $левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате \equiv1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка .$ Имеем:

—   $n \equiv 0 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 0 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 1 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 1 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 9 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 2 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 2 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 25 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 3 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 3 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 49 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 4 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 4 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 81 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 5 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 5 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 121 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 6 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 6 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 169 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ;$

—   $n \equiv 7 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2 умножить на 7 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 225 \equiv 1 левая круглая скобка mod 8 правая круглая скобка .$

Таким образом, каждый остаток равен 1.

Ключ