Ре­ше­ние. Для того, чтобы найти по­след­нюю цифру суммы, най­дем по­след­ние цифры каж­до­го сла­га­е­мо­го и най­дем по­след­нюю цифру их суммы.

Числа, яв­ля­ю­щи­е­ся на­ту­раль­ны­ми сте­пе­ня­ми двой­ки, окан­чи­ва­ют­ся на 2, 4, 8 и 6. Если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  1, то сте­пень двой­ки окан­чи­ва­ет­ся на 2, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  2  — сте­пень двой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  4, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  3  — сте­пень двой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  8, и если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  0  — сте­пень двой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  6. Число  187 при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  3, зна­чит, число  2¹⁸⁷ окан­чи­ва­ет­ся циф­рой  8.

Числа, яв­ля­ю­щи­е­ся на­ту­раль­ны­ми сте­пе­ня­ми трой­ки, окан­чи­ва­ют­ся на 3, 9, 7 и 1. Если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  1, то сте­пень трой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  3, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  2  — сте­пень трой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  9, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  3  — сте­пень трой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  7, и если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  0  — сте­пень трой­ки окан­чи­ва­ет­ся на  1. Число  34 при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  2, зна­чит, число  3³⁴ окан­чи­ва­ет­ся циф­рой  9.

Числа, яв­ля­ю­щи­е­ся на­ту­раль­ны­ми сте­пе­ня­ми се­мер­ки, окан­чи­ва­ют­ся на 7, 9, 3 и 1. Если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  1, то сте­пень числа  7 окан­чи­ва­ет­ся на  7, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  2  — сте­пень числа  7 окан­чи­ва­ет­ся на  9, если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  3  — сте­пень числа  7 окан­чи­ва­ет­ся на  3, и если по­ка­за­тель сте­пе­ни при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  0  — сте­пень числа  7 окан­чи­ва­ет­ся на  1. Число  257 при де­ле­нии на  4 дает в остат­ке  1, зна­чит, число  7²⁵⁷ окан­чи­ва­ет­ся циф­рой  7.

По­след­няя цифра суммы равна по­след­ней цифре суммы то есть  4.

Ответ: 4.

При­ведём идею дру­го­го ре­ше­ния.

Рас­смот­рим пер­вое сла­га­е­мое:

Ана­ло­гич­но для осталь­ных сла­га­е­мых.

При­ве­дем идею дру­го­го ре­ше­ния.

Пятые сте­пе­ни числа за­кан­чи­ва­ют­ся той же циф­рой, что и само число. За­ме­тим, что

Числа и за­кан­чи­ва­ют­ся на  2. Сле­до­ва­тель­но, число за­кан­чи­ва­ет­ся той же циф­рой, что и то есть на  8. Ана­ло­гич­но для дру­гих чисел.