РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 6141 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 1. Признаки делимости, сократимость, последняя цифра

Докажите, что для любых натуральных значений n число $6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n$ делится на 30.

Решение. Разложим на множители:

$6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n = n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 15n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 6n в кубе плюс 10n в кубе минус n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка 6n в кубе левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 10n в квадрате левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 9n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 6n в квадрате плюс 3n минус 2n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 3n левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате плюс 3n минус 1 правая круглая скобка .$ $6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n = n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 15n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 6n в кубе плюс 10n в кубе минус n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в кубе левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 10n в квадрате левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 9n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 6n в квадрате плюс 3n минус 2n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 3n левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате плюс 3n минус 1 правая круглая скобка .$ $6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n = n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 15n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 6n в кубе плюс 10n в кубе минус n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в кубе левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 10n в квадрате левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 9n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 6n в квадрате плюс 3n минус 2n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 3n левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате плюс 3n минус 1 правая круглая скобка .$ $6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n = n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 15n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 6n в кубе плюс 10n в кубе минус n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в кубе левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 10n в квадрате левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 9n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка = n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 6n в квадрате плюс 3n минус 2n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 3n левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате плюс 3n минус 1 правая круглая скобка .$ $6n в степени 5 плюс 15n в степени 4 плюс 10n в кубе минус n = n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 15n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в степени 4 плюс 6n в кубе плюс 10n в кубе минус n в кубе плюс 10n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка 6n в кубе левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 10n в квадрате левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 9n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 6n в квадрате плюс 3n минус 2n минус 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 3n левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка =$
$= n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3n в квадрате плюс 3n минус 1 правая круглая скобка .$

Покажем делимость многочлена на 2, 3 и 5, что даст делимость на 30. При делении на 2 возможны 2 различных остатка. Проанализируем оба случая. Если $n=2k,$ то первый множитель делится на 2. Если $n = 2k плюс 1,$ то второй множитель $n плюс 1 = 2k плюс 2$ делится на 2.

При делении на 3 возможны 3 различных остатка. Проанализируем все случаи. Если $n = 3k,$ то на 3 делится первый множитель. Если $n = 3k плюс 1,$ то третий множитель $2 левая круглая скобка 3k плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 = 6k плюс 3$ делится на 3. Если $n = 3k плюс 2,$ то второй множитель $3k плюс 2 плюс 1 = 3k плюс 3$ делится на 3.

При делении на 5 возможны 5 различных остатков. Проанализируем все случаи. Если $n = 5k,$ то на 5 делится первый множитель. Если $n = 5k плюс 1,$ то четвертый множитель

$3n в квадрате плюс 3n минус 1 = 3 левая круглая скобка 5k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка 5k плюс 1 правая круглая скобка минус 1 = 75k в квадрате плюс 45k плюс 5$

делится на 5. Если $n = 5k плюс 2,$ то третий множитель

$2n плюс 1 = 2 левая круглая скобка 5k плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 = 10k плюс 5$

делится на 5. Если $n = 5k плюс 3,$ то четвертый множитель

$3n в квадрате плюс 3n минус 1 = 3 левая круглая скобка 5k плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка 5k плюс 3 правая круглая скобка минус 1 = 75k в квадрате плюс 105k плюс 35$

делится на 5. Если $5k плюс 4,$ то второй множитель $n плюс 1 = 5k плюс 5$ делится на 5.

Ключ