РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 5284 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 1. Признаки делимости, сократимость, последняя цифра

Докажите признаки делимости на 7, 11 и 13: число делится на 7 (11, 13) тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его трехзначных граней, взятых справа налево, делится на 7 (11, 13).

Решение. Разобьем число N справа налево на трехзначные грани:

$N = \overline\vphantom k в степени k a_na_n минус 1...\underbracea_14a_13a_12_10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка \underbracea_11a_10a_5_10 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка \underbracea_8a_7a_6_10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка \underbracea_5a_4a_3_10 в кубе \underbracea_2a_1a_0_10 в степени 0$

и представим его в виде

$N = \overline \vphantom a в степени a a_2 a_1 a_0 плюс \overline \vphantom a в степени a a_5 a_4 a_3 умножить на 10 в кубе плюс \overline \vphantom a в степени a a_8 a_7 a_6 умножить на 10 в степени 6 плюс \overline \vphantom a в степени a a_11 a_10 a_9 умножить на 10 в степени 9 плюс \overline \vphantom a в степени a a_14 a_13 a_12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс \ldots .$ $N = \overline \vphantom a в степени a a_2 a_1 a_0 плюс \overline \vphantom a в степени a a_5 a_4 a_3 умножить на 10 в кубе плюс \overline \vphantom a в степени a a_8 a_7 a_6 умножить на 10 в степени 6 плюс$
$плюс \overline \vphantom a в степени a a_11 a_10 a_9 умножить на 10 в степени 9 плюс \overline \vphantom a в степени a a_14 a_13 a_12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс \ldots .$

Запишем знакопеременную сумму трехзначных граней в две строчки, первая из которых выражает признак делимости, вторая  — сумму слагаемых, делящихся на 1001, а потому кратных 7, 11 и 13. Это и докажет признак делимости. Имеем:

$= \overline \vphantom a в степени a a_2a_1a_0 минус \overline \vphantom a в степени a a_5a_4a_3 плюс \overline \vphantom a в степени a a_8a_7a_6 минус \overline \vphantom a в степени a a_11a_10a_9 плюс \overline \vphantom a в степени a a_14a_13a_12 минус \ldots плюс$

$плюс левая круглая скобка 10 в кубе плюс 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_5a_4a_3 плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \overlinea_8a_7a_6 плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_11a_10a_9 плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_14a_13a_12 плюс \ldots$ $плюс левая круглая скобка 10 в кубе плюс 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_5a_4a_3 плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \overlinea_8a_7a_6 плюс$
$плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_11a_10a_9 плюс левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \overline \vphantom a в степени a a_14a_13a_12 плюс \ldots$

Осталось показать, что слагаемые в последней строке действительно делятся на 1001.

Рассмотрим те из них, что умножены на $10 в степени левая круглая скобка 6n правая круглая скобка минус 1 = левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 3n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 3n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Первый сомножитель делится на 1001, поскольку в силу формулы $a в степени n плюс b в степени n$ получаем:

$1000 в степени n плюс 1 в степени n = левая круглая скобка 1000 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1000 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1000 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс 1000 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка минус ... плюс 1 правая круглая скобка .$

Теперь рассмотрим оставшиеся слагаемые, содержащие множители вида $10 в степени левая круглая скобка 6n минус 3 правая круглая скобка плюс 1.$ Они также кратны 1001, поскольку

$10 в степени левая круглая скобка 6n минус 3 правая круглая скобка плюс 1 = 10 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 1 = 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 = 1001 умножить на левая круглая скобка 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 2 правая круглая скобка минус 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 3 правая круглая скобка плюс 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 4 правая круглая скобка минус ... плюс 1 правая круглая скобка .$ $10 в степени левая круглая скобка 6n минус 3 правая круглая скобка плюс 1 = 10 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 1 = 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 =$
$= 1001 умножить на левая круглая скобка 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 2 правая круглая скобка минус 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 3 правая круглая скобка плюс 1000 в степени левая круглая скобка 2n минус 4 правая круглая скобка минус ... плюс 1 правая круглая скобка .$

Признак делимости доказан.

Ключ