РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4876 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 4 минус y правая круглая скобка = |x минус 2| в кубе ,y=x плюс a конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Сделаем замену $x минус 2=t$ и заметим, что $y=t плюс a плюс 2.$ Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения $t левая круглая скобка t минус a минус 2 правая круглая скобка =|t| в кубе .$ Очевидно, $t=0$ является его решением при всех a.

При $t больше 0$ уравнение сводится к $t в квадрате =t минус a минус 2,$ $левая круглая скобка t минус 0,5 правая круглая скобка в квадрате = минус a минус 1,75.$ Это уравнение имеет два положительных корня, если $минус a минус 1,75 принадлежит левая круглая скобка 0;0,25 правая круглая скобка ,$ то есть при $a принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1,75 правая круглая скобка$ и один положительный корень при $a= минус 1,75$ или $a меньше минус 2.$

При $t меньше 0$ уравнение сводится к $минус t в квадрате =t минус a минус 2, левая круглая скобка t плюс 0,5 правая круглая скобка в квадрате =a плюс 2,25.$ Это уравнение имеет два отрицательных корня, если $a плюс 2,25 принадлежит левая круглая скобка 0;0,25 правая круглая скобка ,$ то есть при $a принадлежит левая круглая скобка минус 2.25; минус 2 правая круглая скобка$ и один отрицательный корень при $a= минус 2,25$ или $a больше минус 2.$

Поэтому нужное количество корней будет при $a принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1,75 правая круглая скобка ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус 2,25; минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус 2,25; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1,75 правая круглая скобка .$

Ключ