PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение.
Отметим, что при 
уравнение не имеет положительных корней, поскольку его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций 
имеют более двух точек пересечения на области x > 0.
Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку 
Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.
Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.
Для прямой p:
Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:
Итак, касанию соответствует значение параметра 
При найденных значениях параметров прямая p пересекается с графиком функции 
в точках 
и 
а прямая m касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В в силу того, что график выпукл вверх и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
Таким образом, искомыми значениями параметра являются 
Ответ:
Приведём авторское решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
При все значения функции 
на промежутке 
отрицательны, а все значения функции 
— неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При 
функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2, при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, исходное уравнение 
имеет следующее количество корней на промежутке :
— нет корней при 
— один корень при 
и 
— два корня при 
и 
— три корня при
Ответ: