РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4819 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.13. Найдите все значения параметра a, при которых

Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $косинус в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка x минус левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка плюс 2 косинус x=a минус косинус в квадрате x$ не имеет решений.

Решение. Запишем уравнение в виде:

$косинус в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка x плюс косинус в квадрате x= левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка в степени 9 плюс левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени 9 плюс t,$ тогда исходное уравнение имеет вид $f левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =f левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка .$ Функция f является суммой двух возрастающих функций и потому возрастает. В силу монотонности f равенству значений функции соответствует равенство аргументов, откуда получаем:

$косинус в квадрате x=a минус 2 косинус x равносильно a= косинус в квадрате плюс 2 косинус x.$

Функция $y= косинус x$ принимает значения от $минус 1$ до $1,$ а функция $z=y в квадрате плюс 2y$ монотонно возрастает на отрезке $левая квадратная скобка минус 1,1 правая квадратная скобка$ и принимает на нём значения от −1 до 3. Значит, уравнение $a= косинус в квадрате x плюс 2 косинус x,$ а с ним и исходное уравнение имеют решение при $минус 1 меньше или равно a меньше или равно 3,$ и не имеют решений при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ