РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4787 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.11. Решите неравенство

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента в квадрате плюс x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на \log _7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x3.$

Решение. Область определения неравенства задается условиями $x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0,x больше 0,x не равно 1,$ откуда получаем $x больше 1.$ На этом множестве $логарифм по основанию x 3 больше 0$ и данное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс x минус 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 3 конец дроби умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1,$

которое, в свою очередь, равносильно неравенству

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс x минус 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1.$

Положив $t= корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс x минус 2 конец аргумента ,$ где $t \geqslant0$ получаем неравенство $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка \leqslant1.$ Заметим, что при $t больше или равно 0$ функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка$ возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1.$ Таким образом, множество решений этого неравенства задаётся двойным неравенством $0 меньше или равно t меньше или равно 2.$

Далее имеем:

$система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс x минус 2 конец аргумента \leqslant2,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 меньше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка .$

Ключ