РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 3680 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.7. Решите уравнение или неравенство

Решите уравнение или неравенство $\log _2 косинус x левая круглая скобка 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 6 косинус 2x правая круглая скобка =2.$

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 6 косинус 2x правая круглая скобка =2 равносильно система выражений 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 12 косинус в квадрате x плюс 6=4 косинус в квадрате x, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 13 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 10 косинус в квадрате x плюс 3 косинус 2x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 16 косинус в степени 4 x минус 16 косинус в квадрате x плюс 3 = 0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 6 косинус 2x правая круглая скобка =2 равносильно$
$равносильно система выражений 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 12 косинус в квадрате x плюс 6=4 косинус в квадрате x, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 13 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 10 косинус в квадрате x плюс 3 косинус 2x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 16 косинус в степени 4 x минус 16 косинус в квадрате x плюс 3 = 0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 6 косинус 2x правая круглая скобка =2 равносильно$
$равносильно система выражений 7 минус 3 тангенс в квадрате x минус 12 косинус в квадрате x плюс 6=4 косинус в квадрате x, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 13 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 10 косинус в квадрате x плюс 3 косинус 2x минус 16 косинус в степени 4 x=0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 16 косинус в степени 4 x минус 16 косинус в квадрате x плюс 3 = 0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$

Пусть $t= косинус в квадрате x,$ тогда:

$16t в квадрате минус 16t плюс 3=0 равносильно 16t в квадрате минус 4t минус 12t плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 4t левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $16t в квадрате минус 16t плюс 3=0 равносильно 16t в квадрате минус 4t минус 12t плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 4t левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений совокупность выражений косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус x = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Примечание.

Найти корни квадратного уравнения, можно было найти проще, например, воспользоваться теоремой Виета.

3680

$левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3680	$левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$