PDF-версии: 
Решите систему тригонометрических уравнений 
Решение. Возведем обе части первого и второго уравнений в квадрат и сложим полученные уравнения. Получим следствие системы:
Покажем, что полученная совокупность действительно имеет единственное решение. Рассмотрим уравнение 
Во всех точках отрезка [−1; 1], отличных от 0, верно неравенство 
(доказательство в примечании), поэтому уравнение не имеет решений. Вне этого отрезка модуль правой части уравнения больше 1, а левой не меньше 1. Поэтому других решений нет.
Рассмотрим уравнение 
На промежутке [−1; 1] левая часть этого уравнения возрастает, а правая — убывает, поэтому число 0 является единственным корнем на данном отрезке. При прочих значениях переменной модуль правой части больше 1, а модуль левой не больше 1. Поэтому других решений нет.
Подставим теперь найденное решение 
в исходную систему. Имеем:
Ответ: 
Примечание.
Покажем, что на интервале 
справедливо двойное неравенство 
Рассмотрим сектор OAB окружности единичного радиуса, с центральным углом х. Введем обозначения, как показано на рисунке. Ясно, что 
Поскольку 
получаем:
Для отрицательных значений переменной на интервале 
справедливо неравенство противоположного смысла: 
Следовательно, на интервале 
справедливо соотношение 