РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2333 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.50. Определите, при каких значениях параметра

Определите, при каких значениях параметра уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =a$ имеет единственное решение. Найдите это решение.

Решение. Используем свойства и логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =a равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 в степени a ,1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a плюс x правая круглая скобка = 2 в степени a , 1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =a равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 в степени a ,1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a плюс x правая круглая скобка = 2 в степени a , 1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =a равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 в степени a ,1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a плюс x правая круглая скобка = 2 в степени a , 1 минус 3x больше 0, 2 в степени a плюс x больше 0. конец системы .$

В полученной системе равносильности преобразований достаточно условия на аргумент лишь одного из логарифмов, второе условие  — следствие уравнения и другого условия:

$равносильно система выражений 2 в степени a плюс x минус 3 умножить на 2 в степени a умножить на x минус 3x в квадрате =2 в степени a ,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка 3x плюс 3 умножить на 2 в степени a минус 1 правая круглая скобка =0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=0,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a , конец системы . x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 0, x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a . конец совокупности .$ $равносильно система выражений 2 в степени a плюс x минус 3 умножить на 2 в степени a умножить на x минус 3x в квадрате =2 в степени a ,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x левая круглая скобка 3x плюс 3 умножить на 2 в степени a минус 1 правая круглая скобка =0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=0,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a , конец системы . x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 0, x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a . конец совокупности .$ $равносильно система выражений 2 в степени a плюс x минус 3 умножить на 2 в степени a умножить на x минус 3x в квадрате =2 в степени a ,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка 3x плюс 3 умножить на 2 в степени a минус 1 правая круглая скобка =0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=0,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a , конец системы . x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 0, x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a . конец совокупности .$

Полученная совокупность, а вместе с ней и исходное уравнение имеют единственное решение тогда и только тогда, когда найденные корни совпадают, то есть если $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 в степени a =0,$ откуда $a= минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3.$

Ответ: При $a= минус \log _23,$ $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

2333

При $a= минус \log _23,$ $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2333	При $a= минус \log _23,$ $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$