Ре­ше­ние. а)  Стар­ший ко­эф­фи­ци­ент равен 0:

Если ко­эф­фи­ци­ент при x² равен 0, то:

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид оно имеет ре­ше­ние

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид оно имеет ре­ше­ние

б)  Стар­ший ко­эф­фи­ци­ент не равен 0:

Чтобы урав­не­ние имело ре­ше­ния, до­ста­точ­но за­тре­бо­вать усло­вие на дис­кри­ми­нант:

Дан­ное не­ра­вен­ство верно для всех a, по­сколь­ку в левой части сумма квад­ра­тов и по­ло­жи­тель­но­го числа. Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что один из квад­ра­тов в левой части не­ра­вен­ства имеет знак "−". По­ка­жем, что левая часть всё равно не­от­ри­ца­тель­на при всех a.

При спра­вед­ли­во сле­ду­ю­щее не­ра­вен­ство, до­ка­жем это:

Для спра­вед­ли­во сле­ду­ю­щее рас­суж­де­ние: наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния на дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся при a  =  0, оно равно 0, а наи­боль­шее  — при a  =  1, оно равно Оба этих зна­че­ния мень­ше 3, по­это­му при левая часть не­ра­вен­ства (2) по­ло­жи­тель­на.

Для до­ка­за­тель­ства слу­чая, когда об­ра­тим­ся к не­ра­вен­ству (1): един­ствен­ное от­ри­ца­тель­ное сла­га­е­мое левой части  — a³  — га­ран­ти­ро­ван­но мень­ше a⁶ на ин­тер­ва­ле

Ответ: При всех a.